Осталось доказать возможность представления a=b·q+r
для отрицательных b
.
Так как модуль числа b
в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q 1
– некоторое целое число, а r
– целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q 1
, получаем нужное нам представление a=b·q+r
для отрицательных b
.
Переходим к доказательству единственности.
Предположим, что помимо представления a=b·q+r
, q
и r
– целые числа и , существует еще одно представление a=b·q 1 +r 1
, где q 1
и r 1
– некоторые целые числа, причем q 1 ≠q
и .
После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q 1)+r−r 1
, которое равносильно равенству r−r 1 =b·(q 1 −q)
. Тогда должно быть справедливо и равенство вида , а в силу свойств модуля числа - и равенство .
Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q
и q 1
– целые и q≠q 1
, то , откуда заключаем, что . Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a
, кроме a=b·q+r
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком
Равенство a=b·c+d
позволяет находить неизвестное делимое a
, если известны делитель b
, неполное частное c
и остаток d
. Рассмотрим пример.
Пример.
Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21
получилось неполное частное 5
и остаток 12
?
Решение.
Нам требуется вычислить делимое a
, когда известен делитель b=−21
, неполное частное c=5
и остаток d=12
. Обратившись к равенству a=b·c+d
, получаем a=(−21)·5+12
. Соблюдая , сначала проводим умножение целых чисел −21
и 5
по правилу умножения целых чисел с разными знаками , после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками : (−21)·5+12=−105+12=−93
.
Ответ:
−93
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c
, c=(a−d):b
и d=a−b·c
. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a
на целое число b
, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c
. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.
Пример.
Найдите остаток от деления целого числа −19
на целое число 3
, если известно, что неполное частное равно −7
.
Решение.
Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c
. Из условия имеем все необходимые данные a=−19
, b=3
, c=−7
. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=
−19−(−21)=−19+21=2
(разность −19−(−21)
мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).
Ответ:
Деление с остатком целых положительных чисел, примеры
Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел , так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.
С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком , этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.
Пример.
Выполните деление с остатком числа 14 671
на 54
.
Решение.
Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:
Неполное частное получилось равным 271
, а остаток равен 37
.
Ответ:
14 671:54=271 (ост. 37)
.
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число.
Неполное частное от деления целого положительного числа a
на целое отрицательное число b
представляет собой число, противоположное неполному частному от деления a
на модуль числа b
, а остаток от деления a
на b
равен остатку от деления на .
Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом .
Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное:
- Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если при этом остаток получился равным нулю, то исходные числа делятся без остатка, и по правилу деления целых чисел с противоположными знаками искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
- Записываем число, противоположное полученному неполному частному, и остаток. Эти числа являются соответственно искомым частным и остатком от деления исходного целого положительного числа на целое отрицательное.
Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.
Пример.
Выполните деление с остатком целого положительного числа 17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделив
Число, противоположное числу 3
, - это −3
. Таким образом, искомое неполное частное от деления 17
на −5
равно −3
, а остаток равен 2
.
Ответ:
17
:(−5)=−3 (ост. 2)
.
Пример.
Разделите 45
на −15
.
Решение.
Модули делимого и делителя равны 45
и 15
соответственно. Число 45
делится на 15
без остатка, частное при этом равно 3
. Следовательно, целое положительное число 45
делится на целое отрицательное число −15
без остатка, частное при этом равно числу, противоположному 3
, то есть, −3
. Действительно, по правилу деления целых чисел с разными знаками имеем .
Ответ:
45:(−15)=−3
.
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры
Дадим формулировку правила деления с остатком целого отрицательного числа на целое положительное.
Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое положительное число b
нужно взять число, противоположное неполному частному от деления модулей исходных чисел и вычесть из него единицу, после чего остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
.
Из данного правила деления с остатком следует, что неполное частное от деления целого отрицательного на целое положительное число является целым отрицательным числом.
Из озвученного правила вытекает алгоритм деления с остатком целого отрицательного числа a
на целое положительное b
:
- Находим модули делимого и делителя.
- Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
- Записываем число, противоположное полученному неполному частному и вычитаем из него число 1
. Вычисленное число является искомым неполным частным c
от деления исходного целого отрицательного числа на целое положительное.
Разберем решение примера, в котором воспользуемся записанным алгоритмом деления с остатком.
Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
.
Решение.
Модуль делимого −17
равен 17
, а модуль делителя 5
равен 5
.
Разделив 17
на 5
, получаем неполное частное 3
и остаток 2
.
Число, противоположное 3
, есть −3
. Вычитаем из −3
единицу: −3−1=−4
. Итак, искомое неполное частное равно −4
.
Осталось вычислить остаток. В нашем примере a=−17
, b=5
, c=−4
, тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Таким образом, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
равно −4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):5=−4 (ост. 3)
.
Пример.
Разделите целое отрицательное число −1 404
на целое положительное число 26
.
Решение.
Модуль делимого равен 1 404
, модуль делителя равен 26
.
Разделим 1 404
на 26
столбиком:
Так как модуль делимого разделился на модуль делителя без остатка, то исходные целые числа делятся без остатка, причем искомое частное равно числу, противоположному 54
, то есть, −54
.
Ответ:
(−1 404):26=−54
.
Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел.
Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое отрицательное число b
, нужно вычислить неполное частное от деления модулей исходных чисел и прибавить к нему единицу, после этого остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
.
Из этого правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел является целым положительным числом.
Перепишем озвученное правило в виде алгоритма деления целых отрицательных чисел:
- Находим модули делимого и делителя.
- Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно частному от деления модуля делимого на модуль делителя.)
- К полученному неполному частному прибавляем единицу, это число есть искомое неполное частное от деления исходных целых отрицательных чисел.
- Вычисляем остаток по формуле d=a−b·c
.
Рассмотрим применение алгоритма деления целых отрицательных чисел при решении примера.
Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся соответствующим алгоритмом деления с остатком.
Модуль делимого равен 17
, модуль делителя равен 5
.
Деление 17
на 5
дает неполное частное 3
и остаток 2
.
К неполному частному 3
прибавляем единицу: 3+1=4
. Следовательно, искомое неполное частное от деления −17
на −5
равно 4
.
Осталось вычислить остаток. В этом примере a=−17
, b=−5
, c=4
, тогда d=a−b·c=−17−(−5)·4=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Итак, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
равно 4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):(−5)=4 (ост. 3)
.
Проверка результата деления целых чисел с остатком
После того, как выполнено деление целых чисел с остатком, полезно выполнить проверку полученного результата. Проверка проводится в два этапа. На первом этапе проверяется, является ли остаток d
неотрицательным числом, а также проверяется выполнение условия . Если все условия первого этапа проверки выполнены, то можно приступать ко второму этапу проверки, в противном случае можно утверждать, что при делении с остатком где-то была допущена ошибка. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d
. Если это равенство справедливо, то деление с остатком было проведено верно, в противном случае – где-то была допущена ошибка.
Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется проверка результата деления целых чисел с остатком.
Пример.
При делении числа −521
на −12
было получено неполное частное 44
и остаток 7
, выполните проверку результата.
Решение.
−2
при b=−3
, c=7
, d=1
. Имеем b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20
. Таким образом, равенство a=b·c+d
– неверное (в нашем примере a=−19
).
Следовательно, деление с остатком было проведено неверно.
Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело
на 3, без остатка.
Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?
Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:
Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу
деления с остатком,
по которой можно сделать проверку решения
.
a
=
b
⋅
c
+
d
a
– делимое,
b
– делитель,
c
– неполное частное,
d
– остаток.
Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.
Остаток от деления
Остаток всегда должен быть меньше делителя.
Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело
или без остатка на делитель.
Если при делении остаток больше делителя, это значит, что найденное число не самое большое. Существует число большее, которое поделит делимое и остаток будет меньше делителя.
Вопросы по теме “Деление с остатком”:
Остаток может быть больше делителя?
Ответ: нет.
Остаток может быть равен делителю?
Ответ: нет.
Как найти делимое по неполному частному, делителю и остатку?
Ответ: значения неполного частного, делителя и остатка подставляем в формулу и находим делимое. Формула:
a=b⋅c+d
Пример №1:
Выполните деление с остатком и сделайте проверку: а) 258:7 б) 1873:8
Решение:
а) Делим столбиком:
258 – делимое,
7 – делитель,
36 – неполное частное,
6 – остаток. Остаток меньше делителя 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
б) Делим столбиком:
1873 – делимое,
8 – делитель,
234 – неполное частное,
1 – остаток. Остаток меньше делителя 1<8.
Подставим в формулу и проверим правильно ли мы решили пример:
8⋅234+1=1872+1=1873
Пример №2:
Какие остатки получаются при делении натуральных чисел: а) 3 б)8?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 3. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1 или 2.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 8. В нашем случае остаток может быть равен 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7.
Пример №3:
Какой наибольший остаток может получиться при делении натуральных чисел: а) 9 б) 15?
Ответ:
а) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 9. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 8.
б) Остаток меньше делителя, следовательно, меньше 15. Но нам надо указать наибольший остаток. То есть ближайшее число к делителю. Это число 14.
Пример №4:
Найдите делимое: а) а:6=3(ост.4) б) с:24=4(ост.11)
Решение:
а) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
а:6=3(ост.4)
(a – делимое, 6 – делитель, 3 – неполное частное, 4 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
а=6⋅3+4=22
Ответ: а=22
б) Решим с помощью формулы:
a=b⋅c+d
(a – делимое, b – делитель, c – неполное частное, d – остаток.)
с:24=4(ост.11)
(с – делимое, 24 – делитель, 4 – неполное частное, 11 – остаток.) Подставим цифры в формулу:
с=24⋅4+11=107
Ответ: с=107
Задача:
Проволоку 4м. нужно разрезать на куски по 13см. Сколько таких кусков получится?
Решение:
Сначала надо метры перевести в сантиметры.
4м.=400см.
Можно поделить столбиком или в уме получим:
400:13=30(ост.10)
Проверим:
13⋅30+10=390+10=400
Ответ: 30 кусков получиться и 10 см. проволоки останется.
Чем занимается на математике 3 класс? Деление с остатком, примеры и задачи - вот что изучается на уроках. О делении с остатком и алгоритме таких вычислений пойдет речь в статье.
Особенности
Рассмотрим темы, включенные в программу, которую изучает 3 класс. Деление с остатком выделено в специальный раздел математики. О чем идет речь? Если делимое не делится на делитель нацело, то остается остаток. Например, делим 21 на 6. Получается 3, но в остатке остается 3.
В случаях, когда во время деления натуральных чисел остаток равен нулю, говорят о том, что произведено деление нацело. Например, если 25 нужно поделить на 5, получается число 5. Остаток равен нулю.
Решение примеров
Для того чтобы произвести деление с остатком, используется определенная запись.
Приведем примеры по математике (3 класс). Деление с остатком в столбик можно не записывать. Достаточно записи в строчку: 13:4=3 (остаток 1) или 17:5=3 (остаток 2).
Разберем все подробнее. Например, при делении 17 на три получается целое число пять, кроме того, получается остаток два. Каков порядок решения такого примера на деление с остатком? Сначала необходимо отыскать максимальное число до 17, разделить которое можно без остатка на три. Самым большим будет 15.
Далее проводится деление 15 на число три, результатом действия будет цифра пять. Теперь вычитаем из делимого число, найденное нами, то есть из 17 отнимаем 15, получаем два. Обязательным действием является сверка делителя и остатка. После проверки обязательно записывается ответ совершенного действия. 17:3=15 (остаток 2).
Если остаток будет больше делителя, действие выполнено неправильно. Именно по такому алгоритму выполняет 3 класс деление с остатком. Примеры сначала разбирает учитель на доске, затем ребятам предлагается проверка знаний путем проведения самостоятельной работы.
Пример с умножением
Одна из самых трудных тем, с которой сталкивается 3 класс, - деление с остатком. Примеры могут быть сложными, особенно когда требуются дополнительные расчеты, записываемые в столбик.
Допустим, необходимо разделить число 190 на 27 с получением минимального остатка. Попробуем решить задачу, пользуясь умножением.
Подберем число, которое при умножении будет давать цифру, максимально приближенную к числу 190. Если умножить 27 на 6, получим цифру 162. Вычтем из 190 число 162, остаток будет 28. Он получился больше, чем исходный делитель. Следовательно, число шесть не подходит для нашего примера в качестве множителя. Продолжим решение примера, взяв для умножения число 7.
Умножая 27 на 7, мы получим произведение 189. Далее проведем проверку правильности решения, для этого вычтем из 190 полученный результат, то есть отнимем число 189. Остатком будет 1, что явно меньше 27. Именно так решаются сложные выражения в школе (3 класс, деление с остатком). Примеры всегда предусматривают запись ответа. Все математическое выражение можно оформить так: 190:27=7 (остаток 1). Подобные вычисления можно производить и в столбик.
Именно так осуществляет 3 класс деление с остатком. Примеры, приведенные выше, помогут разобраться в алгоритме решения подобных задач.
Заключение
Для того чтобы у учеников начальных классов были сформированы правильные вычислительные навыки, педагог во время проведения занятий по математике обязан уделять внимание пояснению алгоритма действий ребенка при решении заданий на деление с остатком.
По новым федеральным государственным образовательным стандартам особое внимание уделяется индивидуальному подходу к обучению. Учитель должен подбирать задания для каждого ребенка с учетом его индивидуальных способностей. На каждой ступени обучения правилам деления с остатком педагог должен осуществлять промежуточный контроль. Он позволяет ему выявлять основные проблемы, возникающие с усвоением материала у каждого ученика, своевременно проводить коррекцию знаний и навыков, устранять появляющиеся проблемы, получать желаемый результат.
В этой статье мы внимательно рассмотрим деление с остатком
. Начнем с общего представления об этом действии, далее выясним смысл деления натуральных чисел с остатком
, и введем необходимые термины. Потом очертим круг задач, решаемых с помощью деления натуральных чисел с остатком. В заключении остановимся на всевозможных связях между делимым, делителем, неполным частным и остатком от деления.
Навигация по странице.
Ответ:
Делимое равно 79
.
Следует также отметить, что проверка результата деления натуральных чисел с остатком осуществляется проверкой справедливости полученного равенства a=b·c+d
.
Нахождение остатка, если известно делимое, делитель и неполное частное
По своему смыслу остаток d
– это то количество элементов, которое остается в исходном множестве после исключения из его a
элементов b
раз по c
элементов. Следовательно, в силу смысла умножения натуральных чисел и смысла вычитания натуральных чисел справедливо равенство d=a−b·c
. Таким образом, остаток d
от деления натурального числа a
на натуральное число b
равен разности делимого a
и произведения делителя b
на неполное частное c
.
Полученная связь d=a−b·c
позволяет находить остаток, когда известно делимое, делитель и неполное частное. Рассмотрим решение примера.