Задачи из сборника Кузнецова Л. А

При построении графиков функций полезно придерживаться следующего плана:

1. Находят область определения функции и определяют точки разрыва, если они имеются.

2. Устанавливают, является функция четной или нечетной или ни той ни другой. Если функция четна или нечетна, то достаточно рассмотреть ее значения при x>0 , а затем симметрично относительно оси OY или начала координат восстановить ее и для значений x<0 .

3. Исследуют функцию на периодичность. Если функция периодическая, то достаточно рассмотреть ее на одном периоде.

4. Находят точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно)

5. Проводят исследование функции на экстремум и находят интервалы возрастания и убывания функции.

6. Находят точки перегиба кривой и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Находят асимптоты графика функции.

8. Пользуясь результатами шагов 1-7, строят график функции. Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Пример . Исследовать функцию y=x 3 -3x и построить график.

1) Функция определена на интервале (-∞; +∞). Точек разрыва нет.

2) Функция является нечетной, т.к. f(-x) = -x 3 -3(-x) = -x 3 +3x = -f(x) , следовательно, она симметрична относительно начала координат.

3) Функция не периодическая.

4) Точки пересечения графика с осями координат: x 3 -3x=0, х = , х = -, х = 0, т.е. график функции пересекает оси координат в точках: (; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).

5) Найдем точки возможного экстремума: у′ = 3х 2 -3 ; 3х 2 -3=0; х = -1; х = 1.Область определения функции разделится на промежутки: (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞). Найдем знаки производной в каждом получившемся промежутке:

На интервале (-∞; -1) у′>0 – функция возрастает

На интервале (-1; 1) у′<0 – функция убывает

На интервале (1; +∞) у′>0 – функция возрастает. Точка х = -1 – точка максимума; х = 1 – точка минимума.

6) Найдем точки перегиба: у′′ = 6х; 6х = 0; х = 0 . Точка х = 0 разбивает область определения на промежутки (-∞; 0), (0; +∞). Найдем знаки второй производной в каждом получившемся промежутке:

На интервале (-∞;0) у′′<0 – функция выпуклая

На интервале (0; +∞) у′′>0 – функция вогнутая. х = 0 – точка перегиба.

7) Асимптот у графика нет

8) Построим график функции:

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1) Областью определения функции являются промежутки (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

2) Функция является нечетной, т.к. .

3) Функция не периодическая.

4) График пересекает оси координат в точке (0; 0).

5) Находим критические точки.

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает

-< x < -1, y ¢ < 0, функция убывает

1 < x < 0, y ¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y ¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y ¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y ¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = -является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

6) Найдем вторую производную функции

Уравнение наклонной асимптоты: y = x .

8) Построим график функции.

Если в задаче необходимо произвести полное исследование функции f (x) = x 2 4 x 2 - 1 с построением его графика, тогда рассмотрим этот принцип подробно.

Для решения задачи данного типа следует использовать свойства и графики основных элементарных функций. Алгоритм исследования включает в себя шаги:

Нахождение области определения

Так как исследования проводятся на области определения функции, необходимо начинать с этого шага.

Пример 1

Заданный пример предполагает нахождение нулей знаменателя для того, чтобы исключить их из ОДЗ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; + ∞

В результате можно получить корни, логарифмы, и так далее. Тогда ОДЗ можно искать для корня четной степени типа g (x) 4 по неравенству g (x) ≥ 0 , для логарифма log a g (x) по неравенству g (x) > 0 .

Исследование границ ОДЗ и нахождение вертикальных асимптот

На границах функции имеются вертикальные асимптоты, когда односторонние пределы в таких точках бесконечны.

Пример 2

Для примера рассмотрим приграничные точки, равные x = ± 1 2 .

Тогда необходимо проводить исследование функции для нахождения одностороннего предела. Тогда получаем, что: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) · 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0) · 2 = + ∞

Отсюда видно, что односторонние пределы являются бесконечными, значит прямые x = ± 1 2 - вертикальные асимптоты графика.

Исследование функции и на четность или нечетность

Когда выполняется условие y (- x) = y (x) , функция считается четной. Это говорит о том, что график располагается симметрично относительно О у. Когда выполняется условие y (- x) = - y (x) , функция считается нечетной. Значит, что симметрия идет относительно начала координат. При невыполнении хотя бы одного неравенства, получаем функцию общего вида.

Выполнение равенства y (- x) = y (x) говорит о том, что функция четная. При построении необходимо учесть, что будет симметричность относительно О у.

Для решениянеравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0 соответственно.

Определение 1

Стационарные точки – это такие точки, которые обращают производную в ноль.

Критические точки - это внутренние точки из области определения, где производная функции равняется нулю или не существует.

При решении необходимо учитывать следующие замечания:

• при имеющихся промежутках возрастания и убывания неравенства вида f " (x) > 0 критические точки в решение не включаются;
• точки, в которых функция определена без конечной производной, необходимо включать в промежутки возрастания и убывания (к примеру, y = x 3 , где точка х = 0 делает функцию определенной, производная имеет значение бесконечности в этой точке, y " = 1 3 · x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , х = 0 включается в промежуток возрастания);
• во избежание разногласий рекомендовано пользоваться математической литературой, которая рекомендована министерством образования.

Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.

Определение 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти :

• производную;
• критические точки;
• разбить область определения при помощи критических точек на интервалы;
• определить знак производной на каждом из промежутков, где + является возрастанием, а - является убыванием.

Пример 3

Найти производную на области определения f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

Для решения нужно:

• найти стационарные точки, данный пример располагает х = 0 ;
• найти нули знаменателя, пример принимает значение ноль при x = ± 1 2 .

Выставляем точки на числовой оси для определения производной на каждом промежутке. Для этого достаточно взять любую точку из промежутка и произвести вычисление. При положительном результате на графике изображаем + , что означает возрастание функции, а - означает ее убывание.

Например, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0 , значит, первый интервал слева имеет знак + . Рассмотрим на числовой прямой.

Ответ:

• происходит возрастание функции на промежутке - ∞ ; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
• происходит убывание на промежутке [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .

На схеме при помощи + и - изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.

Точки экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.

Пример 4

Если рассмотреть пример, где х = 0 , тогда значение функции в ней равняется f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 . При перемене знака производной с + на - и прохождении через точку х = 0 , тогда точка с координатами (0 ; 0) считается точкой максимума. При перемене знака с - на + получаем точку минимума.

Выпуклость и вогнутость определяется при решении неравенств вида f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0 . Реже используют название выпуклость вниз вместо вогнутости, а выпуклость вверх вместо выпуклости.

Определение 3

Для определения промежутков вогнутости и выпуклости необходимо:

• найти вторую производную;
• найти нули функции второй производной;
• разбить область определения появившимися точками на интервалы;
• определить знак промежутка.

Пример 5

Найти вторую производную из области определения.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Находим нули числителя и знаменателя, где на примере нашего примера имеем, что нули знаменателя x = ± 1 2

Теперь необходимо нанести точки на числовую ось и определить знак второй производной из каждого промежутка. Получим, что

Ответ:

• функция является выпуклой из промежутка - 1 2 ; 1 2 ;
• функция является вогнутой из промежутков - ∞ ; - 1 2 и 1 2 ; + ∞ .

Определение 4

Точка перегиба – это точка вида x 0 ; f (x 0) . Когда в ней имеется касательная к графику функции, то при ее прохождении через x 0 функция изменяет знак на противоположный.

Иначе говоря, это такая точка, через которую проходит вторая производная и меняет знак, а в самих точках равняется нулю или не существует. Все точки считаются областью определения функции.

В примере было видно, что точки перегиба отсутствуют, так как вторая производная изменяет знак во время прохождения через точки x = ± 1 2 . Они, в свою очередь, в область определения не входят.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Определение 5

Наклонные асимптоты изображаются при помощи прямых, заданных уравнением y = k x + b , где k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x .

При k = 0 и b , не равному бесконечности, получаем, что наклонная асимптота становится горизонтальной .

Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.

Пример 6

На примере рассмотрим, что

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

является горизонтальной асимптотой. После исследования функции можно приступать к ее построению.

Вычисление значения функции в промежуточных точках

Чтобы построение графика было наиболее точным, рекомендовано находить несколько значений функции в промежуточных точках.

Пример 7

Из рассмотренного нами примера необходимо найти значения функции в точках х = - 2 , х = - 1 , х = - 3 4 , х = - 1 4 . Так как функция четная, получим, что значения совпадут со значениями в этих точках, то есть получим х = 2 , х = 1 , х = 3 4 , х = 1 4 .

Запишем и решим:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 · 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0 , 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 · 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0 , 08

Для определения максимумов и минимумов функции, точек перегиба, промежуточных точек необходимо строить асимптоты. Для удобного обозначения фиксируются промежутки возрастания, убывания, выпуклость, вогнутость. Рассмотрим на рисунке, изображенном ниже.

Необходимо через отмеченные точки проводить линии графика, что позволит приблизить к асимптотам, следуя стрелочкам.

На этом заканчивается полное исследование функции. Встречаются случаи построения некоторых элементарных функций, для которых применяют геометрические преобразования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке изучается тема «Исследование функции и сопутствующие задачи». На этом уроке рассматривается построение графиков функций с помощью производных. Проводится исследование функции , строится её график и решается ряд сопутствующих задач.

Тема: Производная

Урок: Исследование функции и сопутствующие задачи

Надо исследовать эту функцию, построить график, найти промежутки монотонности, максимумы минимумы и какие задачи сопутствуют знанию об этой функции.

Сначала полностью воспользуемся той информацией, которая дает функция без производной.

1. Найдем интервалы знакопостоянства функции и построим эскиз графика функции:

1) Найдем .

2) Корни функции: , отсюда

3) Интервалы знакопостоянства функции (см. рис.1):

Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции.

Теперь знаем, что на промежутке и график находится над ось Х, на промежутке - под осью Х.

2. Построим график в окрестности каждого корня (см. рис.2).

Рис. 2. График функции в окрестности корня.

3. Построим график функции в окрестности каждой точки разрыва области определения. Область определения разрывается в точке . Если значение близко к точке , то значение функции стремится к (см. рис.3).

Рис. 3. График функции в окрестности точки разрыва.

4. Определим, как ведет график в окрестности бесконечно удаленных точек:

Запишем с помощью пределов

. Важно, что при очень больших , функция почти не отличается от единицы.

Найдем производную, интервалы ее знакопостоянства и они будут интервалами монотонности для функции, найдем те точки, в которых производная равна нулю, и выясним, где точка максимума, где точка минимума.

Отсюда, . Эти точки являются внутренними точками области определения. Выясним, какой знак производной на интервалах, и какая из этих точек является точкой максимума, а какая - точкой минимума (см. рис.4).

Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.

Из рис. 4 видно, что точка - точка минимума, точка - точка максимума. Значение функции в точке равно . Значение функции в точке равно 4. Теперь построим график функции (см. рис.5).

Рис. 5. График функции .

Таким образом, построили график функции . Опишем его. Запишем интервалы, на которых функция монотонно убывает: , - это те интервалы, где производная отрицательна. Функция монотонно возрастает на интервалах и . - точка минимума, - точка максимума.

Найти число корней уравнения в зависимости от значений параметра.

1. Построить график функции. График этой функции построен выше (см. рис.5).

2. Рассечь график семейством прямых и выписать ответ (см. рис.6).

Рис. 6. Пересечение графика функции с прямыми .

1) При - одно решение.

2) При - два решения.

3) При - три решения.

4) При - два решения.

5) При - три решения.

6) При - два решения.

7) При - одно решение.

Таким образом, решили одну из важных задач, а именно, нахождение числа решений уравнения в зависимости от параметра . Могут быть разные частные случаи, например, при каком будет одно решение или два решения, или три решения. Заметим, что эти частные случаи, все ответы на эти частные случаи содержатся в общем ответе.

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

2. Портал Естественных Наук ().

Сделай дома

№ 45.7, 45.10 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.)

Решебник Кузнецова.
III Графики

Задание 7. Провести полное исследование функции и построить её график.

        Прежде, чем Вы начнёте скачивать свои варианты, попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 3. Часть вариантов заархивированы в формате.rar

        7.3 Провести полное исследование функции и построить её график

Решение.

        1) Область определения:         или        , то есть        .
.
Таким образом:         .

        2) Точек пересечения с осью Ox нет. Действительно, уравнение         не имеет решений.
Точек пересечения с осью Oy нет, так как        .

        3) Функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как
.
Видим, что         и        .

        4) Функция непрерывна в области определения
.

; .

; .
Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

5) Вертикальные асимптоты:        

Найдём наклонную асимптоту        . Здесь

;
.
Следовательно, имеем горизонтальную асимптоту: y=0 . Наклонных асимптот нет.

        6) Найдём первую производную. Первая производная:
.
И вот почему
.
Найдём стационарные точки, где производная равна нулю, то есть
.

        7) Найдём вторую производную. Вторая производная:
.
И в этом легко убедится, так как

Стоит задача: провести полное исследование функции и построить ее график .

Каждый студент прошел через подобные задачи.

Дальнейшее изложение предполагает хорошее знание . Рекомендуем обращаться к этому разделу при возникновении вопросов.

Алгоритм исследования функции состоит из следующих шагов.

Нахождение области определения функции.

Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.

В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.



(В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом:
для корня четной степени, например, - область определения находится из неравенства ;
для логарифма - область определения находится из неравенства ).

Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты , если в этих граничных точках бесконечны.

В нашем примере граничными точками области определения являются .

Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы:


Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.

Исследование функции на четность или нечетность.

Функция является четной , если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.

Функция является нечетной , если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.

В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy .

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными .

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

ЗАМЕЧАНИЕ (включать ли критические точки в промежутки возрастания и убывания).

Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции

• во-первых, находим производную;
• во-вторых, находим критические точки;
• в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;
• в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.

Поехали!

Находим производную на области определения (при возникновении сложностей, смотрите раздел ).


Находим критические точки, для этого:

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.


Делаем вывод:

Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.

Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.

В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно.

Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.

Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.

Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции :

• во-первых, находим вторую производную;
• во-вторых, находим нули числителя и знаменателя второй производной;
• в-третьих, разбиваем область определения полученными точками на интервалы;
• в-четвертых, определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» - промежутку выпуклости.

Поехали!

Находим вторую производную на области определения.


В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.



Делаем вывод:

Точка называется точкой перегиба , если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .

Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.

В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.

Наклонные асимптоты ищутся в виде прямых , где и .

Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станет горизонтальной .

Кто такие вообще эти асимптоты?

Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции.

Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.

Для нашего примера

- горизонтальная асимптота.

На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.

Вычисляем значения функции в промежуточных точках.

Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).

Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2 , х=-1 , х=-3/4 , х=-1/4 . В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2 , х=1 , х=3/4 , х=1/4.


Построение графика.

Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).


Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.


Этим шедевром изобразительного искусства задача полного исследования функции и построения графика закончена.

Графики некоторых элементарных функций можно строить с использованием графиков основных элементарных функций.